Punto de Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:
Se halla la primera derivada de
Se halla la segunda derivada de
Se halla la tercera derivada de
Se iguala la segunda derivada a 0:
Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :
Si , se tiene un punto de inflexión en .
Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La ecuación no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que tampoco presenta un extremo en .