Valores Criticos

El valor crítico se designa mediante z α/2.

P(Z > zα/2) = α/2

P[-z α/2 < z < z α/2] = 1 − α

α es rl nivel de significación.

1 − α es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%.

Bilateral

1 - α	α/2	z α/2
0.90	0.05	1.645
0.95	0.025	1.96
0.99	0.005	2.575

Unilateral

1 - α	α	z α
0.90	0.10	1.28
0.95	0.05	1.645
0.99	0.01	2.33

Punto de Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:
Se halla la primera derivada de
Se halla la segunda derivada de
Se halla la tercera derivada de
Se iguala la segunda derivada a 0:
Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :
Si , se tiene un punto de inflexión en .
Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La ecuación no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que tampoco presenta un extremo en .

Definicion de Maximos,Minimos,Absolutas y Relativas

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Sea f una función de valores reales definida en un conjunto S de números reales. Se dice que la función f tiene un máximo absoluto en el conjunto S si existe por lo menos un punto c en S tal que
f(x)≤f(c) para todo x en S
El número f(c) se llama máximo absoluto de f en S.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Para una función con las mismas características que la definida en el máximo absoluto, se dice que f tiene un mínimo absoluto en S si existe un punto d en S tal que
f(x)≥f(d) para todo x en S 

Maximo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f, definida en un conjunto S, tiene un máximo relativo en un punto c de S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene c tal que
f(x)≤f(x) para todo x situado en I∩S

Minimo relativo


Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

La definicón de mínimo relativo se formula igual que la de máximo relativo, pero cambiando la desigualdad.

Definición de Derivadas

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

Condiciones de Continuidad

Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, , y usando la expresión Δy + y = f(Δx + x), queda donde en este caso, f(x) = y. Ello quiere decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con
es continua en el punto a.Condición no recíproca La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto . Dicha función es equivalente a la función partida Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.

Tipos de Limites

1) LIMITE EN UN PUNTO.

a) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por 


(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio 
, podemos encontrar un entorno de a de radio 
, que depende de 
, de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,
) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,
).)

b) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición). 
.

c) Límite por la izquierda: 

d) Límite por la derecha: 

2) PROPIEDADES O REGLAS DE LOS LÍMITES.

a) 
siempre que no aparezca la indeterminación 
.

b) 
con 
.

c) 
siempre y cuando no aparezca la indeterminación 
.

d) 
siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones 
e 
.

e) 
con 
, siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

f) 
siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos 
.

Definicion de Limite

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidospor dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definiciónde límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. El punto c es punto de acumulación del dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende ac, y se escribe:

Límite de una sucesión de conjuntos

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que: